Comment ajouter un carré en fin de démonstration?

Ce symbole est utilisé pour remplacer l'expression latine « quod erat demonstrandum » (QED), autrement dit notre CQFD. Il est parfois appelé « halmos », du nom du mathématicien Paul Halmos.

L'obtention de ce symbole n'est pas compliquée, il s'agit du symbole $\LaTeX$ mathématique \square. La problématique tient plus à son positionnement sur la ligne du document où elle vient conclure la démonstration.

Avec l'extension “amsthm”

L'extension amsthm fournit un environnement proof qui ajoute automatiquement ce symbole en fin de démonstration:

\documentclass{article}
  \usepackage{amsthm}
  \usepackage[french]{babel}
 
\begin{document}
\begin{proof}
(...) Et, par récurrence:
\[ (X+Y)^{n} = \sum_{{k=0}}^{n} {n \choose k} X^{{n-k}} Y^{k} \]
Ce qui généralise l'\emph{identité polynomiale}.
\end{proof}
\end{document}

$\documentclass{article} \usepackage{amsthm} \usepackage[french]{babel} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{proof} (...) Et, par récurrence: \[ (X+Y)^{n} = \sum_{{k=0}}^{n} {n \choose k} X^{{n-k}} Y^{k} \] Ce qui généralise l'\emph{identité polynomiale}. \end{proof} \end{document}$

Cependant, si la démonstration se termine par une formule en exergue, le symbole CQFD risque d'apparaître trop bas. Son placement pourra être corrigé en utilisant la commande \qedhere comme étiquette de formule, avec la commande \tag:

Sans correction:

\documentclass{article}
  \usepackage{amsthm,amsmath}
  \usepackage[french]{babel}
 
\begin{document}
\begin{proof}
  Texte...
  \begin{equation*}
    maths...
  \end{equation*}
\end{proof}
\end{document}

$\documentclass{article} \usepackage[width=6cm]{geometry} \usepackage{amsthm,amsmath} \usepackage[french]{babel} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{proof} Texte... \begin{equation*} maths... \end{equation*} \end{proof} \end{document}$

Avec correction:

\documentclass{article}
  \usepackage{amsthm,amsmath}
  \usepackage[french]{babel}
 
\begin{document}
\begin{proof}
  Texte...
  \begin{equation*}
    maths... \tag*{\qedhere}
  \end{equation*}
\end{proof}
\end{document}

$\documentclass{article} \usepackage[width=6cm]{geometry} \usepackage{amsthm,amsmath} \usepackage[french]{babel} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{proof} Texte... \begin{equation*} maths... \tag*{\qedhere} \end{equation*} \end{proof} \end{document}$

Comment obtenir un carré noir?

Il est très simple de changer le symbole de fin de démonstration, en redéfinissant la commande \qedsymbol:

\documentclass{article}
  \usepackage{amsthm,amssymb}
  \usepackage[french]{babel}
 
\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}
 
\begin{document}
\begin{proof}
  Et nous y voilà.
\end{proof}
\end{document}

$\documentclass{article} \usepackage[width=6cm]{geometry} \usepackage{amsthm,amssymb} \usepackage[french]{babel} \pagestyle{empty} \renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$} \begin{document} \begin{proof} Et nous y voilà. \end{proof} \end{document}$

De la même façon, il est très simple de faire disparaître le carré, en redéfinissant \qedsymbol pour qu'elle ne fasse rien:

\documentclass{article}
  \usepackage{amsthm}
  \usepackage[french]{babel}
 
\renewcommand{\qedsymbol}{}
 
\begin{document}
\begin{proof}
  Et nous y voilà.
\end{proof}
\end{document}

$\documentclass{article} \usepackage[width=6cm]{geometry} \usepackage{amsthm} \usepackage[french]{babel} \pagestyle{empty} \renewcommand{\qedsymbol}{} \begin{document} \begin{proof} Et nous y voilà. \end{proof} \end{document}$

Avec l'extension “ntheorem”

L'extension ntheorem vous permet de définir de nouveaux styles de théorèmes, de lemme, de démonstration, etc.

Avec l'option standard, elle vous fournit un ensemble d'environnements prédéfinis, dont Proof pour les démonstrations. En ajoutant l'option thmmarks, on fait apparaître des marques de fin de démonstration:

\documentclass{article}
  \usepackage[standard,thmmarks]{ntheorem}
  \usepackage[french]{babel}
 
\begin{document}
\begin{Proof}
(...) Et, par récurrence:
\[ (X+Y)^{n} = \sum_{{k=0}}^{n} {n \choose k} X^{{n-k}} Y^{k} \]
Ce qui généralise l'\emph{identité polynomiale}.
\end{Proof}
\end{document}

$\documentclass{article} \usepackage[standard,thmmarks]{ntheorem} \usepackage[french]{babel} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{Proof} (...) Et, par récurrence: \[ (X+Y)^{n} = \sum_{{k=0}}^{n} {n \choose k} X^{{n-k}} Y^{k} \] Ce qui généralise l'\emph{identité polynomiale}. \end{Proof} \end{document}$

La documentation de “ntheorem” reste un peu théorique. Vous trouverez ici des exemples pédagogique et en français.

Avec l'extension “QED”

L'extension QED, de Paul Taylor, définit un environnement de preuve, Proof, et une commande \qed. Vous devrez charger manuellement l'extension amssymb pour disposer du symbole carré.

Vous aurez également à disposition ces variantes:

Commande	Rendu	Signification
`\qed`	$\square$	Quod erat demonstrandum / Ce qu'il fallait démontrer
`\QED`	Q.E.D.	Quod erat demonstrandum / Ce qu'il fallait démontrer
`\QEI`	Q.E.I.	Quod erat inveniendum / Ce qu'il fallait trouver
`\QEF`	Q.E.F.	Quod erat faciendum / Ce qu'il fallait faire

Ces commandes (\qed, \QED, etc) n'ont pas d'effet si elles ne suivent pas une commande qui démarre une preuve (\begin{Proof} ou \Proof).

L'extension QED a été développée en 1993-1995. Avec elle, Paul Taylor a apporté une solution automatique à un problème délicat: en effet, certaines preuves se terminent par une équation en exergue, d'autres non. Si le fichier d'entrée contient …\] \end{proof}, LaTeX termine de composer les maths, puis se prépare immédiatement pour une nouvelle ligne, avant même de lire le code de la fin de démonstration.

Cette extention a donc un intérêt historique, et son code est très intéressant. Mais les autres solutions proposées sont préférables si vous travaillez sur un document récent.

Avec des modifications manuelles

Si vos besoins sont simples, une commande \qed peut être définie manuellement :

\def\myhfill{
  \parfillskip=0pt
  \widowpenalty=10000
  \displaywidowpenalty=10000
  \finalhyphendemerits=0
  \unskip\nobreak\null\hfil\penalty50
  \hskip2em\null\hfill
}
 
\def\qedsymbol{\ensuremath\square}
\def\qed{\myhfill\qedsymbol\par}

Le symbole de fin de démonstration sera placé à droite, sur la ligne s'il reste de la place, sur la ligne d'en-dessous dans le cas contraire.

Sources:

Table des matières